|
教学目标
知识目标：熟练掌握一元二次不等式的两种解法；理解一元二次方程、一元二次不等式和二次函数之间的关系.
能力目标：培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力.
德育目标：通过等与不等的对立统一关系的认识，对学生进行辨证唯物主义教育.
情感目标: 在自主探究与讨论交流过程中，培养学生的合作意识和创新精神.
教学重点:一元二次不等式的解法.
教学难点:一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系.
教学过程:
(一)引入新课.
问题1：(幻灯片1)画出一次函数y=2x-7的图象，填空：
2x-7=0的解是 .不等式2x-7>0的解集是 .不等式2x-7<0的解集是 .
请同学们注意,一元一次方程、一元一次不等式和一元一次函数有什么关系?(“三个一次”关系).
从上面的特殊情形引导学生发现一般的结论.
(幻灯片2):一般地，设直线y=ax+b与x轴的交点是(x0,0),就有如下结果.
一元一次方程ax+b=0的解集是{x|x=x0}
一元一次不等式ax+b>0(<0)解集
(1)当a>0时, 一元一次不等式ax+b>0的解集是{x|x>x0};
一元一次不等式ax+b<0解集是{x|x<x0}；
(2)当a<0时，一元一次不等式ax+b>0解集是{x|x<x0}；
一元一次不等式ax+b<0解集是{x|x>x0}.
(学生看图总结,教师在幻灯片中给出结果).
问题2：(幻灯片3)（2004年江苏省高考试题）二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表：
|
x |
-3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
y |
6 |
0 |
-4 |
-6 |
-6 |
-4 |
0 |
6 |
则ax2+bx+c>0解集是 .
引导学生运用解决问题1的方法,画出二次函数y=ax2+bx+c的图象求解.并请学生说出不等式ax2+bx+c<0的解集和方程ax2+bx+c=0的解集,同时注意一元二次方程、一元二次不等式和二次函数有什么关系?(“三个二次”关系).
(二)讲授新课.
1.问题2的解决表明,一元二次不等式的解集可以画出对应二次函数的图象写出.
请同学们解下面两组题:
题组1（课本19页例1、例2）
（1）解不等式2x2-3x-2>0
（2）解不等式-3x2+6x>2
学生根据问题2的方法画图求解,教师巡回指导,提醒学生注意掌握画二次函数图象的要领和方法.
2.题组2（课本19页例3、例4）
（1）解不等式4x2-4x+1>0
（2）解不等式-x2+2x-2>0
学生不难想到,这两题的方法和上面完全相同,教师在巡回指导中及时提醒学生注意和上面两题的不同,由图象写出解集是难点,必要时教师在黑板上画出图象给予一定的提示或讲解.
3.至此我们掌握了用图象法来解一元二次不等式.当然我们可以仿照前面探讨“三个一次”关系的做法来探讨这里“三个二次”的关系.
引导学生分三种情况(△＞0,△＜0,△＝0)讨论一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a＞0 )与ax2+bx+c＜0(a＞0)的解集.
(幻灯片4)
|
三个二次 |
△>0 |
△=0 |
△<0 |
|
y=ax2+bx+c(a>0)
图 象 |
|
|
|
|
ax2+bx+c=0(a>0)根 |
x=x1 或x=x2 |
x1=x2= |
无 解 |
|
ax2+bx+c>0(a>0)
解 集 |
{x|x<x1或x>x2} |
{x|x≠ } |
R |
|
ax2+bx+c<0(a>0)
解 集 |
{x|x1<x<x2} |
φ |
φ |
请同学们思考,若a＜0,则一元二次不等式ax2+bx+c＞0与ax2+bx+c＜0的解集又将如何?课后仿上表给出.
4.由上面的例题和总结我们发现,一元二次不等式的解集其实就和二次项系数、二次方程的根以及不等号有关,进一步引导学生总结解一元二次不等式的一般步骤:先把二次项系数化成正数,再解对应二次方程,最后根据方程的根的情况,结合不等号的方向写出解集(可称为“三步曲”法).
(四)课堂练习.
1.课本P19～20练习1～3.
2.(幻灯片5)题组3：（1）x2+x+k>0恒成立，求k的取值范围.
（2）ax2+bx+c>0（a≠0）恒成立的条件为 .
ax2+bx+c≤0（a≠0）恒成立的条件为 .
（3）（x-a）（x-a2）<0（0<a<1）的解集是 .
课本P19练习1的四个小题由4位同学板演,教师通过学生板演发现问题,纠正错误,规范书写过程.
课堂练习1、2是两组有梯度的练习题,练习1面向全体学生,练习2供程度较好的学生进一步发展提高.
(五)课时小结.
1.“三个二次”关系.
2.一元二次不等式的两种解法----图象法和“三步曲”法.
(六)课后作业.
1.课本P20习题1,3,5,6.
2.补充练习：1.若不等式  对一切x恒成立，求实数m的范围.
解析：∵x2-8x+20=(x-4)2+4>0, ∴ 只须mx2-mx-1<0恒成立，即可：
①当m=0时，-1<0,不等式成立；②当m≠0时，则须
解之：-4<m<0.由（1）、（2）得：-4<m≤0.
2.设不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|a<x<β}(0<a<β),求不等式cx2+bx+a<0的解集.
分析：由题 ∴cx2+bx+a<0的解集是{x|x<  或x> }．
课后预案
课堂中学生可能提出的意外问题设想:
1.学生可能提出的问题:不等式(x+2)(x-3)＜0能不能转化为不等式组 或 求解?
2.学生在解题中可能出现的问题:把不等式(x-1)(x+2)＞1转化为{ 去解.
课后反思(略)
板书设计(略)
教学设计说明
本节课的所有内容以题组的形式展现给学生,学生始终在解题中探究,在解题中发现,学生参与教学的全过程,成为课堂教学的主体和学习的主人,而教师时刻关注学生的活动过程,不时给予引导,及时纠偏.
复习引入的问题1是学生已经熟知的一元一次不等式、一元一次方程及一次函数既“三个一次”的关系问题,旨在为后面探讨“三个二次”的关系提供方法和思路.问题2是课本中的材料,以高考题的形式出现可以引起学生更大的关注和兴趣.教材中的四个例题让学生完全按照解决问题2的方法自己去解,教师只在必要的时候提醒学生应该注意的问题,或学生遇到困难时给予引导.完成四道例题后,学生对一般一元二次不等式的解法和“三个二次”的关系已经有一定的理解,然后由特殊到一般,引导学生总结规律,形成一般结论.最后学生再利用自己的总结去完成课堂练习,刚刚形成的方法与结论可以进一步巩固和深化.例题、练习和作业的设置由浅入深,并且补充部分题目照顾各个层次的学生.
一元二次不等式的求解过程,也是函数与方程、数形结合、分类讨论及类比等数学思想方法的综合应用过程,在教学中提醒学生注意深刻体会,也在补充题目中逐步加以渗透.
|
