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教学
环节 |
教学内容 |
师生互动 |
设计意图 |
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引 导 自 学 ， 感 知 知 识 |
1、一个力 作用于一个物体，力的方向与前进方向有一个夹角 ，则力使物体位移 所做的功 ___________
2、已知两个非零向量 、 ，作 ， ，则______称作向量和的夹角，记作_______，并规定它的范围是________
3、在轴上的正射影的坐标记作__，向量的方向与轴 的___所成的角为，则 _
4、（1） 叫做向量和的数量积（内积），记作 ，即___________ |
要求同学们在8分钟之内阅读教材、积极思考，完成老师设置的问题。 |
使同学们通过充分的自主参与，对教材知识有个初步了解，带着问题进入下一步的学习，以充分调动学生的学习兴趣。 |
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教学
环节 |
教学内容 |
师生活动 |
设计意图 |
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感知知识
引导自学， |
（2） ，其中是_________， 叫做_______， 叫做________
5、叙述平面向量数量积的性质 |
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师 生 互 动 ， 理 解 知 识 |
1、两个向量的夹角
已知两个非零向量、，作 ＝， ＝，则∠ＡＯＢ称作向量和向量的夹角，记作：
（1）注意求两向量的夹角，须先将两个向量平移至公共起点。
（2）两个向量夹角的范围：0 
（3）当＝０时，与同向；
当＝π时，与反向。
（4）当＝ 时，与垂直，
记⊥.
（5）规定：零向量与任一向量垂直. |
利用多媒体展示出不同位置关系的几组向量，借助几何直观对概念进行强调说明。
（1）向量同起点
（2）范围
（3）特殊情况
（4）突出一规定 |
借助几何直观加深学生对两向量夹角的理解，为学习向量数量积的定义奠定基础。
突出一规定在向量数量积定义中就可不用再强调非零向量、. |
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教学
环节 |
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师生活动 |
设计意图 |
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师 生 互 动 ， 理 解 知 识 |
2、 向量在轴上的正射影
 （1）概念：已知向量和轴，作 ，过点 分别作轴的垂线，垂足分别为 ，则向量 叫做向量在轴上的正射影（简称射影）。
（2）正射影的数量：
即向量在轴上的正射影的数量，记作
设向量的方向与轴的正向所成的角为，则
强调：正射影是一个向量，该射影在轴上的坐标才是一个数量。
（3） 时， ；
 时， ；
 时， ；
 时， ；
 时， .
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师生共同回顾自学时所认识的向量在轴上的正射影的概念。
在正射影的概念的基础上给出正射影的数量的概念。
借助多媒体形象地展现正射影的数量，它可正、可负、可为零。
在两个概念的基础上，学生自主探索发现夹角和正射影数量的关系。教师可来回巡视，进行指导。 |
加强几何直观，有利于学生理解概念。
区别正射影与正射影的数量两个概念。
学生在已有知识的基础上,自主探索发现,发展认知,提高自主学习的能力。同时进一步加深对向量在轴上的正射影的理解。 |
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教学
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教学内容 |
师生活动 |
设计意图 |
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师 生 互 动 ， 理 解 知 识 |
3、 向量数量积的定义
概念：叫向量和的数量积（或内积），记作，即有
探究1：两个向量的数量积与数乘向量有什么区别？
两个向量的数量积是一个实数，符号由 的符号所决定；而数乘向量是一个向量。
探究2：两个向量的数量积与两个实数的乘法有什么区别?
①书写：实数乘积 或 ；
在实数中，若a?0，且a×b=0，则b=0；但是在数量积中，若 ，且 ，不能推出 ，因为其中cosq有可能为0.
②已知实数a、b、c(b?0)，则ab=bc ? a=c，但是  
③在实数中，有(a×b)c = a(b×c)，但是
4、向量数量积的性质
（1）如果 是单位向量，则
 ;
（2） 
且 ;
（3） 或 ;
（4） ;
（5） . |
两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦值有关。
教师提出问题，学生以小组为单位进行探究。
对于探究2此处重点强调书写的区别，其它性质或运算律的区别学生若想不到可在后面例1中展现。
教师采用“由特殊到一般”的方法展现向量数量积的性质：让 即得到性质（1）；让即得到性质（2）；当 时即为性质（3）；性质（4）实为公式变形；利用余弦函数有界性即可得性质（5）。 |
学习新概念与问题讨论相结合，进一步加深学生对新概念的理解与掌握。
提出问题引导学生去探究，培养学生的探索精神。
通过对书写的强调，体现数学的严谨性。
让学生体会“由特殊到一般，再由一般到特殊”的思维方法，发展学生的理性思维能力。
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教学
环节 |
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设计意图 |
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师 生 互 动，理 解 知 识 |
性质的应用：
（2）可解决两向量的垂直问题；
申：解决两向量共线的问题：
且
（3）可求向量的长度；
（4）可求两向量的夹角，同时也建立了向量与三角的联系；
（5）建立了向量与不等式之间的联系.
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学生自主观察性质特点，自主总结性质的应用价值，也可以以小组为单位进行探究。
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培养学生自主探究、合作交流的能力，变“学会”为“会学”。
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典 例 探 究 ， 掌 握 知 识 |
例1、判断正误：
①若 ，则对任一向量，有. (√)
②若，则对任一非零向量，有 . ( × )
③若，则、至少有一个为零. ( × )
④若， ，则 . ( ×)
⑤若，则当且仅当时成立. ( ×)
⑥对任意向量、、 ，有 . ( × )
⑦对任意向量，有 . ( √ )
⑧对任意向量，有 . (×)
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教师出示8个判断题,学生进行分析、判断,教师提问个别同学进行回答,根据回答情况进行强调和纠正。
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通过题目帮助学生更准确的认识向量的数量积，并养成缜密推理的好习惯。 |
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教学
环节 |
教学内容 |
师生活动 |
设计意图 |
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典 例 探 究 ， 掌 握 知 识 |
例2、已知 ， ，
当① ，②，③与的夹角是30°时，分别求.
例3、在正三角形 中，边长为3，求（1） （2）
强调：
第（2）问是个易错点，此两向量首尾相接，所以两向量的夹角不再为 ，而应为 .
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教师出示例题,由学生到黑板上板演，最后师生共同点评完成。
教师出示例题，由学生进行口头分析，充分展示学生的思维过程。 |
让学生在掌握向量数量积公式的基础上，进一步认识两个向量垂直、共线的充要条件，因为它是用“向量法”解决解析几何、立体几何中有关两直线位置关系问题的重要工具。 |
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自 我 实 践 ， 应 用 知 识 |
练基础：
1、若 ，则与的夹角的取值范围是___________.
2、已知 , =4， ，则 = __________.
3、已知 =2，  在 方向上的正射影的数量为-4，则 ___________.
4、已知=3，，且 ，则在方向上的正射影的数量为________. |
学生独立完成，教师核对答案，并关注学生的数学表达。
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这些练习源于课本例、习题，充分体现以本为本。
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教学
环节 |
教学内容 |
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设计意图 |
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自 我 实 践 ， 应 用 知 识 |
练能力：
1、在四边形 中， ，且 ，则四边形是（ ）
 梯形  菱形
 矩形  正方形
2、在 中， ， ，且 ，则的形状为_________.
练应用：
1、已知平面上三点、、满足 ， ， ，求 的值.
2、已知一个与水平夹角为 的力 ，的大小为50 ，拉着一个重80的木块在摩擦系数 为的水平面上运动了20 ，求拉力、摩擦力做的功分别为多少？ |
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通过反馈练习，学生自我检验所学的效果，找出问题，进行弥补。
教材以力做功为背景引入新知识，练习以计算力做功而结束，首尾相应，并体现数学的应用价值。 |
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归 纳 总 结 |
一、知识：
1、两个向量的夹角
2、向量在轴上的正射影及正射影的数量
3、向量数量积的定义及性质
二、能力：
1、运用数量积的定义及性质解决问题
2、探究问题的能力、合作交流的意识
三、数学思想：
1、数形结合思想
2、由特殊到一般，再由一般到特殊
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学生反思本节内容，对知识进行总结，教师再强调补充。
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让学生学会学习，养成自我总结、自我反思的习惯。重视数学思想方法在分析问题和解决问题中的作用。 |
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