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湖南省长沙市周南中学2008届高三第一次月考数学试题（理）
本卷分第I卷和第II卷，共150分,考试时间120分钟.
第I卷（选择题，共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1 已知集合 ，则 等于（ ）
A、 B、 C、 D、
2．在 中，有命题① ；② ；③若 ，则 为等腰三角形；④若 ，则 为锐角三角形.上述命题正确的是（ ）
A、①② B、①④ C、②③ D、②③④
3．设 是函数 的反函数,若 ,则 的值为（ ） A、 1 B、2 C、3 D、 4．已知数列 满足 ，若 ，则 = （ ） A． B． C． D． 5．已知定义在R上的奇函数 满足 为偶函数，对于函数 有下列几种描述，其中描述正确的是 ( ) (1) 是周期函数 (2) 是它的一条对称轴 (3) 是它图象的一个对称中心 (4)当 时，它一定取最大值 A．(2)(4) B．(2)(3) C．(1)(2) D．(1)(3) 6．把函数 的图象按向量 平移后，得到的图象关于y轴对称，则 的最小值为（ ） A、 B、 C、 D、 7．若命题p:不等式 的解集为0<x<1；命题q:在 中，“A>B”是“sinA>sinB”成立的必要不充分条件，则（ ） A、p真q假 B、“p且q”为真 C、“p或q”为假 D、p假q真 8．已知| |＝2 ,| |＝3, , 夹角为 ，则以 ＝5 ＋2 , ＝ －3 为邻边的平行四边形的一条对角线长为 A． B． 14 C．15 D．16 9．点O在 内部且满足 ，则 面积与 面积之比为
A. 2 B. C. 3 D. 5
10．设定义域为 的函数 ，若关于 的方程 有
3个不同的整数解 ，则 等于（ ）
A．5 B． C．13 D．
第II卷 （非选择题，共100分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．已知 为锐角，且 ，则 .
12．函数 的 定义域是 .
13．在直角坐标平面内，已知点列 ， ， ， ，…， ， ，……如果 为正偶数，则向量 的坐标（用 表示）为________ 14．在 中， ， ，则 面积最大值为
15．有如下四个命题： ①已知函数 ( 为实常数， 是自然对数的底数),若 在区间 内为减函数，则 的取值范围是 ．
②已知点 是函数 图象上的两个不同点，则一定有 ； ③已知 是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的 ，满足： ,则数列 一定为等差数列 ④ 已知O是 所在平面上一定点，动点P满足:
．则P点的轨迹一定通过 的重心 其中正确命题的序号为
三 解答题（本大题共6小题，共75分，解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
16 （本题满分12分） 函数 的一段图象过点 ，如图所示
⑴ 求函数 的解析式；
⑵ 将函数 的图象按向量 平移，得到函数 ，求 的单调递增区间
17．（本小题满分12分）已知向量 ，且与向量 所成角为 ，其中 、 、 是△ABC的内角.
（1）求角 的大小；
（2）求 的取值范围.
18. （本小题满分12分）设 是数列 （ ）的前 项和， ，且 ， ， ．
（I）证明：数列 （ ）是常数数列；
（II）求数列 的通项公式．
19．（本小题满分13分）设a＞0，函数 （1）讨论f（x）的单调性 （2）求f（x）在区间[a，2a]上的最小值.
20．（本小题满分13分）我校现有教职员工500人，为了开展迎2008奥运全民健身活动，增强教职员工体质，学校工会鼓励大家积极参加晨练与晚练，每天清晨与晚上定时开放运动场、健身房和乒乓球室，约有30%的教职员工坚持每天锻炼. 据调查统计，每次去户外锻炼的人有10%下次去室内锻炼，而在室内锻炼的人有20%下次去户外锻炼. 请问，随着时间的推移，去户外锻炼的人数能否趋于稳定？稳定在多少人左右？
21. （本小题满分13分） 已知函数 是在（0,+∞）上每一点处可导的函数，若 在x＞0上恒成立.
（1）求证：函数 （0,+∞）上是增函数；
（2）当 时，证明： ；
（3）已知不等式 在 且 时恒成立，求证：
…+ N+).
周南中学08届高三第一次月考
数学（理）参考解答及评分标准
1．A．2．C．3．B．4．B． 5．D．6．B．7．A．8．C．9．D．10．A．
11． 12． . 13． ， 14． 15．②③. 三 解答题（本大题共6小题，共75分，解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
16 （本题满分12分） 函数 的一段图象过点 ，如图所示
⑴ 求函数 的解析式；
⑵ 将函数 的图象按向量 平移，得到函数 ，求 的单调递增区间
并求此时自变量 的集合
解：⑴ 由图知： ，于是
将函数 的图象向左平移 ，得 的图象，则
将 代入 得
故， ………………………………………………………………6分
⑵ 依题意：
故，
解法一：画图得函数的单调递增区间为 ……………12分
解法二：解不等式得单调递增区间为
17．（本小题满分12分）已知向量 ，且与向量
所成角为 ，其中 、 、 是△ABC的内角.
（1）求角 的大小；
（2）求 的取值范围.
17．解：(1)∵ ，且与向量 所成角为 ，
∴ ，∴ .又∵
∴ ,∴ .…………………………………………………6分
(2) 由（1）可得 ,
∴
∵ ∴ ,
∴ …………………………………………………12分
18. （本小题满分12分）设 是数列 （ ）的前 项和， ，且 ， ， ．
（I）证明：数列 （ ）是常数数列；
（II）求数列 的通项公式．
18．解：（I）当 时，由已知得 ．
因为 ，所以 ． …………………………①
于是 ． …………………………………………………②
由②－①得： ．……………………………………………③
于是 ．……………………………………………………④
由④－③得： ．…………………………………………………⑤
即数列 （ ）是常数数列．…………………………………………………6分
（II）由①有 ，所以 ．
所以 ，
．……………………10分
．…………………………………12分
19．（本小题满分13分）设a＞0，函数 （1）讨论f（x）的单调性 （2）求f（x）在区间[a，2a]上的最小值. 19．（本小题满分13分） （1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞）………………………………1分 对 求导数，得 （a＞0）………………3分 解不等式 ＞0，得0＜x＜e………………………………4分 解不等式 ＜0，得x＞e……………………………………………5分 故f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减 ………………………6分 （2）解： ①当2a≤e时，即 时，由（1）知f（x）在（0，e）上单调递增， 所以 ……………………………………………………………7分 ②当a≥e时，由（1）知f（x）（e，+∞）上单调递减， 所以 ………… ……………………………………………8分 ③当 的大小 因为 ……………10分 所以，若 若 综上，当 ……………13分 20．（本小题满分13分）我校现有教职员工500人，为了开展迎2008奥运全民健身活动，增强教职员工体质，学校工会鼓励大家积极参加晨练与晚练，每天清晨与晚上定时开放运动场、健身房和乒乓球室，约有30%的教职员工坚持每天锻炼. 据调查统计，每次去户外锻炼的人有10%下次去室内锻炼，而在室内锻炼的人有20%下次去户外锻炼. 请问，随着时间的推移，去户外锻炼的人数能否趋于稳定？稳定在多少人左右？
.20．解：设第n次去户外锻炼的人数为 ，去室内锻炼的人为 ，…………1分 则有： …………5分 …………7分 …………9分 …………11分 ∴随着时间的推移，去户外锻炼的人数将稳定在100人左右 …………13分 21. （本小题满分13分） 已知函数 是在（0,+∞）上每一点处可导的函数，若 在x＞0上恒成立.
（1）求证：函数 （0,+∞）上是增函数；
（2）当 时，证明： ；
（3）已知不等式 在 且 时恒成立，求证：
…+ N+).
21.（1）证明：由g(x)= ′(x)=
由xf′（x）＞f(x)可知：g′(x) ＞0在x＞0上恒成立.
从而g(x)= ………………………………3分
（2）由（1）知g(x)=
在x1＞0,x2＞0时，
于是f(x1)＜
两式相加得到：f(x1)+f(x2)＜f(x1+x2) ………………………………………………7分
（3）由（2）中可知：
g(x)=
由数学归纳法可知：xi＞0(i=1,2,3,…,n)时,
有f(x1)+f(x2)+f(x3)+… +f(xn)＜f(x1+x2+x3+…+xn) (n≥2)恒成立. ……………9分
设f(x)=xlnx，则在xi＞0(i=1,2,3,…,n)时
有x1lnx1+x2lnx2+…+xnlnxn＜(x1+x2+…+xn)ln(x1+x2+…+xn)（n≥2）……（*）恒成立.
令 …+ = …+
由 ＜ …+
＞ …+ ………………………………10分
(x1+x2+…+xn)ln(x1+x2+…+xn)<(x1+x2+…+xn)ln(1- …+xn)
(∵ln(1+x)＜x)
＜- (**)……………………………………12分
由（**）代入（*）中，可知：
…+
于是： …+ …………………13分
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